La botella de Klein es una superficie cerrada sin interior ni exterior. Debe su nombre al matemático alemán del siglo XIX Felix Klein y fue descrita por primera vez por el matemático británico William Clifford en 1858. A diferencia de la banda de Möbius, que sólo tiene un lado, la botella de Klein tiene interior y exterior. La botella de Klein no puede representarse en un espacio tridimensional sin autointersecciones. Sin embargo, puede representarse fácilmente en cuatro dimensiones.

La botella Klein es una superficie cerrada sin interior ni exterior.

La botella de Klein es una superficie cerrada sin interior ni exterior. Puede representarse en tres dimensiones, pero con autointersecciones.

La botella de Klein es también un tipo especial de colector de una lámina, lo que significa que no tiene límite alguno: todos los puntos de la superficie están conectados a cualquier otro punto de la superficie por un camino "hacia dentro" y otro "hacia fuera" (un camino que comienza en un punto de la superficie, se mueve hacia dentro hasta que llega a otro punto de la superficie, y luego continúa viajando hacia fuera hasta que vuelve a su punto de partida). Esta propiedad hace que estas superficies sean muy difíciles de visualizar.

Debe su nombre al matemático alemán del siglo XIX Felix Klein.

La botella de Klein debe su nombre al matemático alemán del siglo XIX Felix Klein. Fue el primero en definir la botella de Klein, la banda de Möbius y la geometría hiperbólica.

Los estudios de Klein con la teoría de grupos en particular le llevaron a desarrollar su propia notación para observar simetrías de objetos en el espacio, a la que llamó "aritmética de grupos continuos".

A diferencia de la banda de Möbius, que sólo tiene un lado, la botella de Klein tiene interior y exterior.

La botella de Klein es una superficie que no tiene interior ni exterior. La banda de Möbius sólo tiene un lado, pero la botella de Klein tiene dos. La botella de Klein puede representarse en cuatro dimensiones. A diferencia de la banda de Möbius, que sólo tiene un lado, la botella de Klein tiene un lado interior y otro exterior.

La botella de Klein no puede representarse en un espacio tridimensional sin autointersecciones.

La botella de Klein, o botella Klein, es una forma cuatridimensional que no puede representarse en el espacio tridimensional sin autointersecciones. La misma propiedad se aplica a la banda de Möbius: no tiene interior ni exterior, pero puede representarse fácilmente en tres dimensiones (es una superficie).

Sin embargo, puede representarse fácilmente en cuatro dimensiones.

Sin embargo, la botella de Klein no es una forma cuatridimensional. Puede representarse en cuatro dimensiones. Esto puede sorprender al principio, porque parece un objeto tridimensional -un tubo con una protuberancia en un extremo-, pero resulta que esa protuberancia está conectada a sí misma. No hay nada dentro ni nada fuera: todo está conectado.

La botella de Klein es un objeto matemático que parece una superficie, pero que en realidad es una forma cuatridimensional.

La botella de Klein es un objeto matemático que parece una superficie, pero en realidad es una forma cuatridimensional.

La botella de Klein no tiene superficie, pero sí interior y exterior. Los dos extremos de la botella de Klein están conectados por un túnel que atraviesa su centro; de modo que cuando uno recorre un extremo de la botella, acaba recorriendo también el otro lado. Por tanto, aunque parece que esta forma debería tener dos lados (uno para cada abertura), en realidad no hay ninguna distinción entre ninguno de los "lados". Por esta razón, aunque podamos ver ambas aberturas en nuestro modelo físico de la botella de Klein, con una abertura arriba y otra abajo, en realidad se trata de dos lados de una única entidad.

Además de no haber distinción real entre "abertura" o "lado", puesto que ninguno de los lados toca nada más que a sí mismo (como todos los demás objetos), no hay límites entre lo que está dentro y lo que está fuera de ninguno de los dos puntos de entrada, porque ambos están conectados directamente dentro/fuera de sí mismos sin tocar nunca nada más que a sí mismos.

La botella de Klein es uno de los objetos topológicos más famosos de las matemáticas, y tiene muchas propiedades que la hacen única. Como la botella de Klein no tiene bordes ni límites, es imposible definir un interior y un exterior para la superficie. Por eso es difícil entender cómo puede existir una forma semejante en la vida real.

La botella de Klein debe su nombre a Felix Klein, que describió su estructura en 1882 como parte de su Erlanger Programm (programa de Erlangen). El Erlanger Programm era un conjunto de principios utilizados por los matemáticos de la Universidad de Erlangen (Alemania) durante este periodo de tiempo, que se centraba en estudiar lo que conforma la geometría del espacio-tiempo. También dio lugar a otros conceptos matemáticos importantes como la teoría de grupos; sin embargo, ¡dejaremos esos detalles para otro día!